Linear Algebra

---

layout: post title: “Linear Algebra Ordbog” date: 2025-06-10 categories: [blog] —

LIAL, Ordliste

Dansk-Engelsk

A

afbildning

map, transformation
En regel eller funktion der “flytter” en vektor fra ét rum til et andet – fx ved rotation, skalering eller forskydning.

B

basisskift

change of basis
Når man udtrykker vektorer i en ny basis, f.eks. fordi det forenkler en beregning eller tilpasser til en ny geometri.

bijektion

one-to-one correspondence, bijection
En funktion hvor hvert input svarer til ét unikt output, og hvert output dækkes.

bijektiv funktion

one-to-one correspondence, bijection
En funktion der både er injektiv (ingen gentagelser i output) og surjektiv (alle outputs bruges).

bijektiv

bijective
En egenskab ved funktioner: både injektiv og surjektiv, altså perfekt match mellem input og output.

billede

image
Alle de vektorer man får ud efter en afbildning – altså resultatet af at transformere hele definitionsmængden.

billedmængde

range (se også værdimængde)
Det sæt af outputs en funktion faktisk rammer, ofte et underrum af kodomænet.

D

definitionsmængde

domain
Alle de inputværdier man må give til en funktion – altså hvor funktionen er defineret.

delmængde

subset
En mængde hvor alle elementer også findes i en større mængde.

determinant

determinant
Et tal der fortæller om en matrix skalerer, spejler eller vender rummet – fx hvor meget et areal/volumen ændres.

diagonaliserbar

diagonalizable
En matrix er diagonaliserbar hvis den kan omskrives til en diagonal matrix vha. en basistransformation.

diagonalisering

diagonalization
Processen med at omskrive en matrix til en diagonal form, ved hjælp af egenværdier og egenvektorer.

dimension

dimension
Antallet af uafhængige retninger i et rum – fx 2 i et plan, 3 i rum. Også antal basisvektorer.

disjunkte

disjoint
To mængder er disjunkte, hvis de ikke har noget til fælles – deres fællesmængde er tom.

dispositionsmængde

codomain
Alle mulige outputværdier som en funktion kan antage – ikke nødvendigvis alle bliver ramt.

E

echelonform

echelon form (se også trappeform)
En matrix er i echelonform, hvis dens rækker “trapper ned” med nuller foran, og pivoterne står til højre for den ovenstående.

element

entry
Et enkelt tal eller værdi i en matrix eller vektor – også kaldet en indgang.

egenrum

eigenspace
Alle egenvektorer (og deres linearkombinationer) der hører til en bestemt egenværdi – altså rummet af løsninger til ((A - \lambda I)x = 0).

egenvektor

eigenvector
En vektor som ved transformation kun bliver skaleret, ikke ændret retning – opfylder (Av = \lambda v).

egenværdi

eigenvalue
Tallet (\lambda) som fortæller hvor meget en egenvektor skaleres ved transformation.

endelig

finite
Betyder at noget har et begrænset antal elementer eller størrelse – modsætning til uendelig.

F

foreningsmængde

union
Mængden af alle elementer fra to (eller flere) mængder – alt der optræder mindst én gang.

fællesmængde

intersection
Det som to (eller flere) mængder har til fælles – altså de overlappende elementer.

G

Gauss-elimination

Gaussian elimination
En metode til at omskrive et ligningssystem eller matrix til trappeform ved rækkeoperationer, for nemmere løsning.

H

heltal

integer
Et tal uden decimaler – både positive, negative og nul: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

hoveddiagonal

main diagonal
Elementerne fra øverste venstre hjørne til nederste højre i en kvadratisk matrix – de hvor række- og søjleindeks er ens.

I

identitetsmatrix

identity matrix
En kvadratisk matrix med 1’ere på hoveddiagonalen og 0’er ellers – fungerer som “1” i matrixmultiplikation.

indgang

entry
Et andet ord for et element i en matrix eller vektor.

indre produkt

inner product
Et mål for “længde og vinkel” mellem to vektorer – i Rⁿ svarer det til prikproduktet.

injektiv

injective, one-to-one
En funktion er injektiv hvis hvert output stammer fra ét unikt input – ingen gentagelser.

inverterbar

invertible (se også invertibel)
En matrix der har en omvendt (inverse) matrix, så (A^{-1}A = I). Kun muligt hvis determinanten er forskellig fra nul.

invertibel

invertible (se også inverterbar)
Samme som ovenfor – betyder at transformationen kan “rulles tilbage”.

K

kanonisk basis

standard basis
En basis bestående af enhedsvektorer – fx ([1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]) i R³.

karakteristisk ligning

characteristic equation
Ligningen (\det(A - \lambda I) = 0) som bruges til at finde egenværdier.

karakteristisk polynomium

characteristic polynomial
Polynomiet (\det(A - \lambda I)), hvis rødder er egenværdierne.

kofaktor

cofactor
Et tal man får ved at tage determinanten af en mindre matrix (minor), ganget med ((-1)^{i+j}).

kofaktorudvidelse

cofactor expansion
En metode til at beregne determinanter ved at ekspandere langs en række eller søjle med kofaktorer.

koordinatvektor

coordinate vector
En vektor der viser, hvordan en vektor er sammensat ud fra en valgt basis.

korollar

corollary
En sætning der følger direkte af en anden sætning eller bevis – altså en slags “konsekvens”.

L

ledende koefficient

leading entry
Den første ikke-nul værdi i en række i en matrix – bruges til at finde pivoter.

lemma

lemma
En hjælpesætning der bruges som del af et større bevis.

linearkombination

linear combination
En sum af vektorer ganget med skalarer – fx (2v_1 + 3v_2).

lineær (u)afhængig

linearly (in)dependent
Vektorer er uafhængige hvis ingen kan skrives som kombination af de andre – ellers er de afhængige.

lineær (u)afhængighed

linear (in)dependence
Egenskaben af et vektorsæt – om det er muligt at udtrykke én som en kombination af de andre.

M

mindste kvadraters metode

method of least squares
En metode til at finde den bedste (mindst fejlagtige) løsning til et overbestemt system – f.eks. i regression.

underdeterminant

minor
Det man får ved at fjerne én række og én søjle fra en matrix og tage determinanten af det resterende.

mængde

set
En samling af unikke elementer – fx {1, 2, 3}.

N

nullitet

nullity
Dimensionen af nulrummet – altså hvor mange frie variable der er i løsningen af (Ax = 0).

nulrum

null space
Mængden af alle vektorer (x) der opfylder (Ax = 0). Et underrum af definitionsmængden.

nulvektor

zero vector
En vektor hvor alle indgange er nul – længde 0 og ingen retning.

P

pivotindgang

pivot entry
Den første ikke-nul værdi i en række i en matrix – bruges til rækkeoperationer og trappeform.

pivotsøjle

pivot column
En søjle der indeholder en pivot – typisk en vigtig søjle ifm. løsning af ligninger.

R

rang

rank
Antallet af uafhængige rækker eller søjler i en matrix – afgør matrixens “styrke”.

regulær matrix

invertible matrix
En matrix der har en invers – kun mulig hvis rang = antal rækker (fuld rang).

række

row
En vandret linje i en matrix.

rækkereduktion

row reduction
Processen med at bruge rækkeoperationer til at bringe en matrix på echelonform eller reduceret echelonform.

S

skalarprodukt

scalar product
Et tal man får ved at tage indre produkt af to vektorer – bruges fx til projektion og vinkelberegning.

singulær matrix

singular matrix
En matrix der ikke har en invers – typisk fordi determinanten er 0.

spænd

span
Alle mulige linearkombinationer af et vektorsæt – definerer et underrum.

standardbasis

standard basis (se også kanonisk basis)
De vektorer der peger i én og kun én retning – fx ([1,0], [0,1]) i R².

surjektiv

surjective, onto
En funktion hvor hvert output i kodomænet bliver ramt af mindst ét input.

sætning

theorem
En matematisk påstand der er blevet bevist ud fra aksiomer og tidligere sætninger.

søjle

column
En lodret linje i en matrix.

søjlerum

column space
Mængden af alle linearkombinationer af en matrix’ søjler – samme som billedmængde.

T

totalmatrix

augmented matrix (se også udvidet koefficientmatrix)
En matrix der indeholder både koefficienter og resultatled fra et ligningssystem.

transponering

transpose
Man bytter rækker og søjler i en matrix – altså spejler over hoveddiagonalen.

trappeform

echelon form (se også echelonform)
En form hvor nuller er flyttet ned og til venstre i matrixen – giver trinvis struktur.

triangulær matrix

triangular matrix
En matrix hvor alle elementer under eller over hoveddiagonalen er nul – enten øvre eller nedre triangulær.

triviel løsning

trivial solution
Den simple løsning (x = 0) til ligningen (Ax = 0).

U

uendelig

infinite
Ikke endeligt – noget uden grænse, fx en uendelig løsningsmængde.

udvidet koefficientmatrix

augmented matrix (se også totalmatrix)
En matrix der inkluderer både koefficienterne og resultatleddene fra et ligningssystem.

undermatrix

submatrix
En mindre matrix man får ved at fjerne rækker og/eller søjler fra en større matrix.

underrum

subspace
Et rum inden for et større vektor rum, som også opfylder regler for lukkethed under addition og skalering.

V

vectorspænd

vector span
Alle mulige linearkombinationer af et givet vektorsæt – definerer hvilket rum de “udspænder”.

værdimængde

image/range (se også billedmængde)
Det sæt af outputværdier som en funktion faktisk rammer – samme som billedmængde.